MATEMÁTICA

Função Afim ou Função Polinomial do 1º Grau

Chama-se função do 1º grau a função: 

que associa cada número real x, o número real ax+b, com

Então a função f(x) = ax + b com a, b E IR e

a = coeficiente angular

b = coeficiente linear

Esta função pode  ser classificada como:

Função  Crescente: para quaisquer elementos x' e x'' de um subconjunto M do domínio de uma função f, com 

temos:  

 então diremos que f é uma função crescente em M.

OBS:

 Função Decrescente: para quaisquer elementos x' e x'' de um subconjunto M do domínio de uma função f, com 

temos: 

 então diremos que f é uma função decrescente em M.

OBS:

Observe:

crescente                     e                  decrescente

Exemplo 1

f(x) = 3x + 5

é uma função crescente, pois, o número que acompanha o x ( o 3) é positivo.


Exemplo 2

f(x) = –3x

é uma função decrescente, pois, o número que acompanha o x ( o -3) é negativo.


Zero da função

O zero da função ou raiz é um valor do domínio cuja imagem é zero.

Através da fórmula f(x) = ax + b, se anula para x =  -b

                                                                                a

Exemplo 1

Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da função intersecta o eixo x.

Resolução:
x = –b/a
x = –(–9)/2
x = 9/2
x = 4,5



Exemplo 2

Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função.

Resolução
x = –b/a
x = –12 / –6
x = 2



Gráfico de uma Função do 1º Grau

• Representação Gráfica:  y = ax + b ( a diferente de  0)

É uma reta não paralela  aos eixos Ox ou Oy, sendo raíz ou zero da função  a abscissa do ponto onde a reta intercepta o eixo Ox.

• Construção do Gráfico:

     -  Atribui-se alguns valores reais a x e obtendo-se valores de y, correspondendo, organizando-os em uma tabela.
     - Localiza-se no plano cartesiano os pontos (x,y) e traçando a reta que passa por eles.




Exemplo 1: 

dada a função: f(x) = 2x – 1 , onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x           y
- 2        - 5
- 1        - 3
0          - 1
1 / 2       0
 1           1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.






Sinais da Função do 1º Grau

O estudo dos sinais da função do 1º grau, y = ax + b ( a diferente de 0) , consiste em saber para que valores de x:

 Positivo:

 Nulo:

 Negativo:

Para a função crescente

 

valores positivos para:

valor zero para:

valores negativos para: 

Para a função decrescente 

valores positivos para:

valor zero para: 

valores negativos para:

 

 Função Quadrática ou Função Polinomial do 2º Grau

Chama-se função do 2º grau a função:  

que associa cada número real x, o número real ax²+bx+c, com a, b e c reais, e  ( a 'minúsculo' diferente de zero):

 Então

corresponde:  f(x) = ax² + bx+c com a, b e c reais. 

OBS: 

  

Zero da função

A função f(x) = ax² + bx + c se anula para:

Onde:   

OBS:

Resultará em duas raízes reais distintas, se o delta for:

Resultará em duas raízes reais iguais, se o delta for:

Resultará em nenhuma raiz real, se o delta for:

 

Exemplo 1:

Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valor de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:

f(x) = 0
2x² – 3x + 1 = 0



Os pontos de interseção são:
x = 1 e y = 0
x = 1/2 e y = 0


Gráfico de uma Função do 2º Grau

• É representado por uma curva (parábola) em um plano cartesiano.

• Atribuímos valores para x e obtemos valores para y, organizando-os com o auxílio de uma tabela.

Exemplo1:

    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

Relação entre a Concavidade de uma Parábola e o Coeficiente a

O gráfico de uma função do 2º grau sempre terá uma parábola, e essa parábola terá sua concavidade voltada para cima quando:

 E terá a concavidade voltada para baixo quando:

- Quando voltada para cima: o  a será maior que zero e o delta pode ser - maior, menor ou igual - a zero.

- Quando voltada para baixo: o   a será menor que zero e o delta pode ser - maior, menor ou igual - a zero.




Exemplo 1:

Dada a função f(x) = x² – 1. Essa função pode ser escrita da seguinte forma: y = x² – 1.
Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na função encontraremos o valor de y, formando pares ordenados.

y = (-3)² – 1
y = 9 – 1
y = 8
(-3,8)

y = (-2)² – 1
y = 4 – 1
y = 3
(-2,3)

y = (-1)² – 1
y = 1 – 1
y = 0
(-1,0)

y = 0² – 1
y = -1
(0,-1)

y = 1² – 1
y = 1 – 1
y = 0
(1,0)

y = 2² – 1
y = 4 – 1
y = 3
(2,3)

y = 3² – 1
y = 9 – 1
y = 8
(3,8)

Distribuindo os pares ordenados no plano cartesiano montaremos o gráfico.
 


O gráfico desse exemplo tem a concavidade voltada para cima, podemos relacionar a concavidade com o valor do coeficiente a, quando a > 0 a concavidade sempre será voltada para cima.


Exemplo 2:

Dada a função f(x) = -x². Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na função encontraremos o valor de y, formando pares ordenados.

y = -(-3)²
y = - 9
(-3,-9)

y = -(-2)²
y = - 4
(-2,-4)

y = -(-1)²
y = -1
(-1,-1)

y = -(0)²
y = 0
(0,0)

y = -(1)²
y = -1
(1,-1)

y = -(2)²
y = -4
(2,-4)

y = -(3)²
y = -9
(3,-9)

Distribuindo os pares ordenados no plano cartesiano montaremos o gráfico.



O gráfico do exemplo 2 tem a concavidade voltada para baixo, como já foi dito na conclusão do exemplo 1 que a concavidade está relacionada com o valor do coeficiente a, quando a < 0 a concavidade sempre será voltada para baixo.



Vértice e Conjunto Imagem da Função

O vértice V de uma parábola é representado pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com a própria parábola. As coordenadas do vértice são:

ou 

 

sendo assim o V = (Xv, Yv)



Conjunto Imagem da Função 

É determinado a partir da coordenada Yv do vértice da parábola. Neste caso considera-se:

quando a coordenada apresentar um ponto mínimo, é o valor mínimo da função.

    

 

quando a coordenada apresentar um ponto máximo, é o valor máximo da função.

    

Exemplo 1:

dada a função y = -x² + 10x - 14  calcule as coordenadas do seu vértice para conferir com o ponto indicado na tabela inicial.
 
Seus coeficientes são:





Então para a abscissa do vértice x_v temos:




A ordenada do vértice y_v vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x² + 10x - 14 = 0:



Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:



Da outra maneira o cálculo seria:



Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.


Sinal da Função

São estudados através da análise do coeficiente a e do delta (/\).

Sendo: 

Sequência

É o conjunto formado por elementos considerados numa certa ordem.

A representação normal de uma sequência é: (a1, a2, a3, ..., an-1 , an), onde:

a1 =  o primeiro termo

a2=  o segundo termo

...

a n-1 = o último termo menos um

a n =  o último termo

Progressão Aritmética (P.A.)



 Toda sequência de números reias, na qual cada termo, a partir  do  segundo,  é  igual  ao  anterior  somado a uma constante, denominada razão, representada pela letra r.

PA (a1, a2, a3, ..., an-1, an)

- Razão: quando determinamos a diferença entre um termo e seu antecessor.

 Ex: a2 - a1 = r 

 Ela classifica uma P.A. em:

- crescente:  quando a razão for positiva.

- constante: quando a razão for igual a zero.

- decrescente: quando a razão for negativa.

- Fórmula do Termo Geral de uma P.A. :

                       

a n = a1 + (n - 1 ) * r

Exemplo 1:

O número 15 possui quantos múltiplos com 2 dígitos?

Sabemos que todos os números naturais são múltiplos de si mesmos exceto o zero, então neste exercício tratamos de uma P.A. que se inicia no número 15 e de quinze em quinze termina no número 90, que é o maior número com dois dígitos que é divisível por 15, ou seja, que é o maior múltiplo de quinze com dois dígitos.
Então os dados que possuímos para a resolução do problema são:



Através da fórmula do termo geral vamos identificar o número de termos desta P.A.:



Portanto a referida P.A. possui 6 termos.
Apenas para que você possa conferir, veja abaixo a P.A. completa:

P.A. ( 15, 30, 45, 60, 75, 90 )

Logo:

O número 15 possui 6 múltiplos com 2 dígitos.

-Soma dos Termos de uma P.A. :
   

     Sn = (a1 + an ) * n

              2  

Exemplo 1:

observe a P.A. ( 9, 11, 13 )

Recorrendo à fórmula temos:





- Três Termos em P.A. :

                                      (x - r ; r ; x + r)


OBS: Para encontrar o " a3 " :

     a3=  a1 + 2r

Exemplo 1:

 A soma dos 3 termos de uma P.A. decrescente finita é igual a 21 e o seu produto é igual a 231. Qual é o valor do último termo?

Temos então a seguinte progressão aritmética:

P.A. ( a₁, a₂, a₃ )

Como visto na parte teórica, sabemos que podemos representar um termo em função de outro, através da adição ou da subtração da razão, de n vezes a razão, onde n é a quantidade de termos deslocados de um ao outro.
Pensando nisto podemos eleger o termo a₂ para representarmos todos os outros em função dele, assim:

P.A. ( a₂ - r, a₂, a₂ + r )

Repare que como a₂ é o termo central, ao escolhê-lo temos a possibilidade de eliminarmos a razão r e encontramos o seu valor ao somarmos todos os termos da P.A., vejamos:




Agindo de forma análoga, na expressão do produto iremos escrever os demais termos também em função de a₂, visto que este é um valor já identificado:



Visto que a P.A. é decrescente, a sua razão é negativa. Como a₂ = 7, r = -4 e a₃ = a₂ + r, temos que:



Logo:

O valor do último termo desta P.A. é igual a 3.

 Progressão Geométrica (P.G.)



É  toda  sequencia  de  números  não  nulos  em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo  precedente   por   uma   constante,   denominada   razão, representada pela letra q.

-Razão: é dada por meio da divisão de qualquer termo, a partir do segundo, por seu antecessor.

Ex:

Ela classifica uma P.G. em:

-  Quando a razão for maior que 1:

crescente:  quando o a1 for maior que zero.

decrescente: quando o a1 for menor que zero.

- Quando a razão for igual a 1:

 estacionária.

- Quando a razão for maior que 0 e menor que 1:

decrescente:  quando o a1 for maior que zero.

crescente: quando o a1 for menor que zero.

- Quando a razão for menor que zero, podendo ter sinais contrários:

alternante.


Exemplo 1:
 Qual é a razão dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)? 

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:

- Fórmula do Termo Geral de uma P.G. :

              
Exemplo 1:
 Qual é o número do termo da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)?

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:



Os dados que dispomos são:



Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:

- Soma dos Termos de uma P.G. :

Exemplo 1:
 Se somarmos os 7 primeiros termos da P.G. ( 7, 21, ... ) qual será o valor  obtido?

Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:




Calculando temos:



Logo:

O valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será de 7651.

- Soma dos Termos de uma P.G. infinita:

     

- Três Termos em P.G. :

                   x   ;   x   ;   x * q

                                                 q

  

- Produto dos Termos de uma P.G. limitada:

OBS:  Para encontrar o "a3":

     

Estatística

É o ramo da matemática que permite, de forma organizada, recolher dados sobre uma população, analisa-los e tirar conclusões.

Termos de uma pesquisa estatística: 
 

- Dados Estatísticos: são números utilizados para descrever e representar fatos observados.

-  População: é o conjunto dos elementos que pretende pesquisar .

-  Indivíduo: todo elemento da população.

- Variável: é a característica ou a propriedade que será estudada, ou observada na população. Classificam em:

          Qualitativas – quando exprimem uma qualidade ou atributo. 
Ex:  esporte preferido, cor de olho, tipo de cabelo, sexo, etc.

          Quantitativas – quando exprimem contagens (valores numéricos). 
Ex:  idade, estatura, massa, número de irmãos, etc.  


A variável quantitativa pode ainda ser classificada em:
 

Discretas: variáveis cujos valores podem ser ordenados de modo que entre dois valores consecutivos não exista nenhum outro.

Ex: número de alunos em uma sala = 30,   ou  números de irmãos = 4 ; 

Contínuas: variáveis que podem assumir qualquer valor em certo intervalo.

Ex: o peso de uma pessoa = 72 Kg ;  72,4 Kg.

Representação de Dados Estatísticos

Podem ser por meio de tabelas ou de gráficos.

• Tabelas: resumem um conjunto de observações em um quadro. Elementos que a  constituem:                                                                                     

   Título: fornece informações do que está sendo representado.

Cabeçalho: especifica o conteúdo das colunas.

Fonte: indica onde foram coletados os dados.

• Gráficos: é outro meio de representar dados. Podem ser:

Gráfico de Coluna (barra simples ou barra múltiplas)

 

Gráfico de Setores

Gráfico de Linha

 

Gráfico de Pictograma

Gráfico de Polígono de Frequência

 

 

Gráfico de Histograma

Amostra

É um subconjunto finito de população (parte da população).

     Amostragem casual ou simples: todos os elementos da população têm igual possibilidade de serem selecionados para constituir a amostra. A forma de cada elemento é o sorteio.

Ex:  Vamos obter uma amostra representativa para a pesquisa da estatura de noventa (90) alunos de uma escola:
     1 - Numeramos os alunos de 01 a 90.
      2 - Escrevemos os números, de 01 a 90, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa.
     3 - Agitamos a caixa.
    4 - Retiramos, um a um,  nove  números que formarão a amostra de 10% da população.

     Amostragem sistemática: os elementos da amostra são selecionados por um critério preestabelecido pelo pesquisador. Esta estratégia é normalmente usada quando os elementos já estão ordenados de alguma forma.

Ex: Para fazer uma amostra sistemática do exemplo anterior, pode simplesmente selecionar os elementos diretamente da lista de alunos e escolher  apenas os números pares, ímpares, múltiplos de 5, ou os de 8, etc.

     Amostragem estratificada proporcional: é utilizada sempre que a população estiver dividida em subgrupos ou faixas também chamadas de estratos, uma vez que a variável em estudo pode apresentar um comportamento diferente de estrato para estrato. Nesse caso, o número de elementos componentes da amostra deve ser proporcional ao número de elementos de estratos. 

Ex: Supondo, no exemplo 1, que, dos noventa alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas, vamos obter a mostra estratificada proporcional.

1 -

2 - Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90, meninas.
A escolha dos elementos da amostra de 9 alunos pode ser feita por um dos processos anteriores. 


 
Frequência 


Frequência Absoluta de cada variável: é o número de vezes que essa variável aparece. Representada pela letra F.

Frequência Relativa de cada variável: é a razão entre a frequência absoluta e o número total de elementos. Representada pela letra Fr.
 

Frequência Absoluta Acumulada: é a soma da frequência absoluta dos dados anteriores. Representada pela letra Fa.

Frequência Relativa Acumulada: é a razão entre a frequência absoluta acumulada até esse dado e a frequência absoluta acumulada do total de dados. Representada pela letra Fra.

Medidas da Tendência Central

   Média aritmética: divide a soma dos elementos pelo número de elementos do conjunto. Representado por: 

Ex:  dadas as idades 7, 5, 12, 6, 10, 11, 5

M = 7 + 5 + 8 + 12 + 6 + 10 + 11 + 5       =  64  =   8

                            8                                          8

Mediana: é representado pelo valor central entre os dados obtidos, estando em ordem crescente ou decrescente.

Ex: considerando as idades 7, 5, 12, 6, 10, 11, 5. Em ordem crescente:
 5, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12 


Md = 7 + 8  =  15  =   7,5
             2           2  

Moda: é o valor que mais se repete entre os dados obtidos.

Ex: entre os números 5, 6, 6, 6, 1, 1, 3, 4, 6
Mo = 6 

 Agrupamento de classe para facilitar na representação gráfica

- intervalo de classe: é o conjunto de variáveis semelhantes que constituem um intervalo dentro de todas as variáveis da pesquisa.

 

- limites da classe: são os extremos do intervalo de classe. Li representa o limite superior e o li representa o limite inferior.

- amplitude do intervalo: é a medida do intervalo que define a classe. Obtida pela diferença entre os limites superior e inferior da classe (a). 

- amplitude total: diferença entre o maior e o menor valor da amostra (A).

- ponto médio de um intervalo: é o ponto que divide o intervalo de classe em 2 partes iguais (xi). Obtém fazendo:

  

                



1) Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados:


 
O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:
a) 178
b) 182
c) 184
d) 188
e) 191

Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos:

x + 26% + 24% + 22% = 100%
x = 100% – 72%
x = 28%

Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos:

28% de x = 196
0,28x = 196
x = 196/0,28
x = 700

O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, então:


26% de 700 → 0,26 * 700 → 182 votos

Resposta correta: item b.

Contagem

 

É a área da matemática que analisam dados e tenta quantificá-los  para avaliar tendências e tomar decisões, quando organizada de grande números de dados é chamada de análise combinatória.

- Princípio fundamental da contagem: é o número  de maneiras diferentes de ocorrer um acontecimento.

Ex:  A1, A2 e A3   é:   m1 * m2 * m3

O mesmo se aplica a 2 ou a mais de 3 acontecimentos.

- Fatorial

         n fatorial ( o E utilizado na fórmula abaixo significa: Pertence).

  
 – é o produto dos números natural de 1 a n.

OBS: 1! = 1

- Outras Formas de Contagem

Permutação simples: de n elementos distintos é qualquer grupo ordenado desses n elementos. Para o cálculo, utilizamos: 

    

  Portanto, a permutação simples de n elementos distintos é igual a n fatorial.

Ex: Arroz

P5 = 5!

P5 = 120

- Permutação com elementos repetidos: 



Ex: Banana

P6 ³’² = 6 ! 

            3!2!

P6 ³’² = 6 * 5 *4 *3!    =  120   =  60
                3!  2 * 1            2

1) Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses são ímpares?

Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.
No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P₅^{(2, 2)}, pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:





Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P₅^{(3, 2)}, pois o dígito 9 será utilizado na última posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:



Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40 números ímpares.

Logo:

Dos números formados, 40 deles são ímpares.

Arranjo simples: todo agrupamento de p elementos que podemos formar com n elementos, sendo:

- A fórmula utilizada é:  

1) Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?


Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A_8, 8:





Portanto:

Podemos formar 40320 anagramas com as letras da palavra PADRINHO.

       
 Combinação simples: de p elementos que podemos formar com n  elementos distintos, sendo

- A fórmula utilizada é:  

1) Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco?


Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular C_12, 4:




Portanto:

Posso separá-las de 495 modos diferentes.

Probabilidade

É o ramo da matemática que pesquisa e desenvolve modelos visando estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.

• Experimento aleatório: é todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis.

• Espaço amostral: de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Notação: S.

• Evento: é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório.

Todo subconjunto unitário de S é denominado evento simples ou evento elementar.

     Chamam – se S de evento  e   de evento impossível:

 - A probabilidade é indicada por: 

 

Sendo:

n (A) = número de elementos de A.

n (S) = número de elementos de S.

P (A) = a probabilidade de ocorrer A.

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade desta bola ser verde é ⁵/₁₂

 

OBS:

Probabilidade de não ocorrer um evento: é igual a 1 menos a probabilidade de que ele ocorra. 
Observe:

 Probabilidade da união de eventos: 

- A ocorrência do evento A e do evento B é dada por:
 

- A ocorrência do evento a ou do evento B é dada por: 

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é igual a probabilidade de ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade de ocorrer A e B:

1) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.
Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:




Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a ^7/₁₄:




Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a ^2/₁₄:



Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então ^7/₁₄ passaria a ^1/₂ e ^2/₁₄ a ^1/₇, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:



Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, ^5/₁₄. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:





O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral.
Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção.

A probabilidade de ela ser verde ou amarela é ⁹/₁₄.

 Probabilidade condicional:

Sejam:

e

 

 eventos de mesmo espaço amostral S.

A probabilidade de ocorrência de A condicionada a B é o número dado por:

 Probabilidade da intersecção de eventos:

 

Se dois eventos, A e B, que ocorrem em um mesmo espaço amostral, são independentes entre si, a probabilidade de ocorrência de A e B é igual  ao número dado por: 

Distribuição binominal

Se em cada uma das n tentativas de um experimento aleatório, a probabilidade de ocorrer um evento A é P (A), então a probabilidade de ocorrer p vezes o evento A nas  n tentativas é:

Onde

e A é o evento complementar de: 

 

Estudo da Reta 

 

Equação geral da reta: toda reta r do plano cartesiano pode ser representada por uma equação:

 ax + by + c = 0 

Onde x e y são coordenadas de um ponto genérico pertencente a r e a, b e c são números reais, sendo a e b não nulos ao mesmo tempo.

1) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).



[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0
–3x – y – 1 = 0
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela expressão: –3x – y – 1 = 0.

Equação segmentária da reta: a equação de uma reta r que intercepta os eixos nos pontos distintos da origem  N (0, n) e  P (p, 0), pode ser obtida da seguinte forma:
 

             Sendo:



1) Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é:
s: 2x + 3y – 6 = 0

 

 Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4).
Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante.

Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c. Assim, segue que:
2x + 3y = 6

Dividindo a equação por 6, obtemos:

A identidade acima é a forma segmentária da equação da reta s.

Coeficiente angular de   uma reta: num  sistema  cartesiano ortogonal, a  reta  r, não  vertical, forma com Ox um ângulo com medida alfa. Essa reta  r tem como coeficiente angular um  número real  m  dado  por tg de alfa. Observe:

- Quando o ângulo é nulo, então m é zero.

- Quando o ângulo é agudo, então m é positivo. 

- Quando o ângulo é obtuso, então m é negativo.

 

No triângulo formado por A, B e C, a tg alfa é determinada por: 

  

Equação reduzida da reta:  pode-se determinar a equação reduzida de r, isolando o valor de y em função de x. 

Sendo:

- coeficiente angular (m) da reta;

- coeficiente linear (n) da reta:

1) A equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras, observe:

1º maneira

Determinar o coeficiente angular da reta.

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
m = (–5 – 7) / (–1 – 2)
m = –12 / –3
m = 4

De acordo com o ponto P(2, 7), temos:

y – y₁ = m * (x – x₁)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1

2ª maneira 

Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.

Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:

 

P(2, 7)

7 = m * 2 + c
7 = 2m + c
2m + c = 7

Q(–1, –5)

–5 = m * (–1) + c
–5 = –m + c
–m + c = –5

Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) serão calculados por um sistema de equações. Veja:

Isolando c na 2ª equação:

–m + c = –5
c = –5 + m

Substituindo c na 1ª equação:

2m + c = 7
2m + (–5 + m) = 7
2m – 5 + m = 7
3m = 7 + 5
3m = 12
m = 12/3
m = 4

Calculando o valor de c:

c = –5 + m
c = –5 + 4
c = –1

Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1.

Equação da reta, conhecidos um ponto e a direção 

- Pode-se determinar, quando a reta não é vertical, pela fórmula:

- Quando a reta for vertical, determina-se pela fórmula:

x = xa

Equações paramétricas da reta: são equações  paramétricas de uma reta s onde f (t) e g (t) expressam leis de funções do primeiro grau.

x =  f (t)

y = g (t)

Posição relativa de duas retas no plano cartesiano

- r e s são paralelas, quando:

- r e s são coincidentes, quando:

- r e s são concorrentes, quando:

- r e s são perpendiculares, quando:

Ângulos entre duas retas

Considerando r e s, retas não verticais, concorrentes mas não perpendiculares entre si:

 A medida do ângulo agudo:

A medida do ângulo obtuso:

OBS:  Caso r seja vertical, então:

Distância entre ponto e reta: a distância entre o ponto P (xp, yp) e a reta (r) ax  by + c = 0, pode ser calculada utilizando a fórmula:

1) O ponto A(–1, –2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo. 

Área de um triângulo ABC: cujos vértices são os pontos A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc), pode ser calculada da seguinte forma:

1) Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).

Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. Teremos:

Assim obtemos:

Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12.

2) Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.

Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então,

 

Estudo Analítico da Circunferência

Equação reduzida da circunferência: considerando uma circunferência, de raio r e centro C (xc, yc) num plano  alfa, pode-se obter a equação reduzida pela fórmula:

Equação geral da circunferência: a partir da equação reduzida de uma circunferência, de raio r e centro C (xc, yc) é que pode-se chegar a equação geral:

• O termo independente é: 

• O raio é: 

• A equação geral da circunferência é do 2º grau em x e em y. 

• Os coeficientes de x² e y² são iguais e diferentes de zero. 

• Não apresenta o termo x y, isto é,  pode-se considerar que o seu coeficiente é zero. 

 

Posições do ponto P em relação à circunferência

                                                                                                                                                          

 Onde:

 n = x²p + y²p - 2xcxp - 2ycyp + (x²c + y²c - r²)

 

Posições da reta s em relação à circunferência

Reta externa à circunferência;

Reta tangente à circunferência;

Reta secante à circunferência. 

 

Posições relativas de duas circunferências 

quando:

         - externamente:

  - internamente:








     - concêntrica:





    - não-concêntrica:

COMPREENDENDO CONTEÚDO

1) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada b. 

Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25.
Considerando que o ponto P(3, b) pertença à circunferência, então:

x² + (y – 3)² = 25
3² + (b – 3)² = 25
9 + (b – 3)² = 25
(b – 3)² = 25 – 9
(b – 3)² = 16
b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4
b = 4 + 3 ou b = –4 + 3
b = 7 ou b = –1

A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1.

2) Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.

A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r &gt; 0, é (x – a)² + (y – b)² = r².
Portanto:
A equação da circunferência com coordenados do centro (3, 6) e raio medindo 4 é dada por:
(x – 3)² + (x – 6)² = 16

3) Dada as equações das circunferências λ₁ : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ₂ : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.

Resolvendo o sistema , determinaremos se possuem pontos em comum.


Resolvendo o sistema por Adição:

– 2x – 2y – 6 = 0  → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x

Substituindo y em qualquer das equações:

x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0
x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0
x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0
2x² + 10x + 28 = 0

Resolvendo a equação por Bháskara:

? = b² – 4ac
? = 10² – 4 * 2 * 28
? = 100 – 224
? = – 124

Em razão de delta menor que 0, a equação não possui raízes reais. Logo, as circunferências não possuem pontos em comum.