EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE MATEMÁTICA

Exercícios de Função do Primeiro Grau

1)      Determine a raiz ou zero das seguintes funções:

a)     Y = - 12x – 24

b)    Y = 20x + 60

c)     Y = 8x

d)    Y = - x + 5

e)     Y = x + 4

      f)      Y = - 6x – 12   

      

      g)     Y = 10x + 30

      h)    Y = 7x

      i)       Y = - x + 6

      j)       Y = x + 2

2)      Esboce o gráfico das seguintes funções:

     a)     y  = –2x + 2

     b) y = 2x + 2

     c) y = 3x

     d) y = x + 2

     e) y = - 4x - 2

     f) y  = –2x + 3

     g) y = 2x + 4

     h) y = 5x

     i) y = x + 2

Exercícios de Função do Segundo Grau

1) Calcule as raízes das seguintes funções quadráticas abaixo:

a) y = x² - 1

b) y = x² + 3x + 2

c) y = x² + x - 2

d) y = x² - 6x + 9 

e) y = x² - 4x + 3

f) y = x² + 4x + 7

g) y = x² - x - 2

h) y = x² - 2x - 3

2) Se f(x) = x² +3x +4 , quanto vale f(-1)?

3) Esboce o gráfico da função quadrática y = 2x² - 8x + 6.

4) Determine uma parábola que represente um função quadrática com um delta menor que 0.

5) Dada a função y = - x² + 4x - 5 , determine os zeros da função.

6) Determine os valores de x que anulam a função y = x² + 3x  - 10.

7)  Quais são os valores do x vértice e y vértice da equação y = 10x² + 20x + 40.

8) Determine o vértice da função quadrática f(x) =  -10x² - 20x - 30.

Exercícios de Sequência

1) Dada a sequência an = - 3an-1 + 5, (sendo n pertencente aos naturais e maior ou igual a

 2) e a1 = 1. Determine:

a) Seus cinco primeiro termos.

b) a5 - a4

c) (a7)²

2) Dada a sequência { 1, 5, 9, 13, 17, 21, ...} ,  determine:

a) a razão.

b) o 7º e o 10º termos.

c) (a5)² -  6a5

3) Sabendo que an+1 =  an + an-1, complete a seqüência ( __, __, 3, 9, __, __, __ ).

4) Os números 1, 3, 6, 10, 15,... são chamados de números triangulares,
nomenclatura esta justificada pela seqüência de triângulos.

a) Determine a expressão algébrica para o n-ésimo número triangular;



5) Imagine os números inteiros não negativos formando a seguinte
tabela:

2 5 8 11 14 ...
1 4 7 10 13 ...
0 3 6 9 12 ...

a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por quê?

b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?



6) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:


7) Numa progressão aritmética de razão r e primeiro termo 3, a soma dos primeiros n termos é 3n², logo, a razão é:


8) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo a1 +3, a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a:


9) Sabendo que uma PG tem a₁ = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. 


10) A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.


11) A sequência 1, 3a - 4, 9a² – 8, é uma progressão geométrica. Calcule a.

12) Escreva:

a) uma P. G. de quatro termos em que a₁ = 5 e q = 3.

b) uma P. G. de seis termos em que a₁ = -2 e q = 2.

c) uma P. G. de quatro termos em que a₁ = 2^-3 e q = 2².

13) Determine o valor de x, de modo que os números x + 1, x + 4, x + 10 formem, 

nesta ordem, uma P. G.

14) Se a sequência (x, 3x + 2, 10x + 12) é uma P. G., pede-se:

a) Calcule o valor de x.

b) Escreva essa progressão geométrica.

          Exercícios de Estatística

1)  Diga porque é que as seguintes situações representam más amostras:

a) Para saber qual o candidato mais votado, para a Câmara de determinada cidade, auscultou-se a opinião dos clientes de determinado supermercado.

b) Para conhecer a situação financeira das empresas têxteis portuguesas, verificou-se a situação das empresas que tiveram maior volume de exportações, no último ano.

2) Num estudo feito numa escola, recolheram-se dados referentes às seguintes variáveis:

(A) idade	(E) tempo gasto diariamente no estudo
(B) ano de escolaridade	(F) distância de casa à escola
(C) sexo	(G) local de estudo
(D) nota na disciplina de Matemática	(H) número de irmãos

   

 a)  Das variáveis indicadas, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?

 b)  Das variáveis quantitativas, diz quais são contínuas.

3) Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em minutos, por 60 elementos de um clube de karting num circuito de 20 voltas, registou-se o tempo gasto por 16 desses elementos. Os resultados foram os seguintes:

  

            

14,1	13,5	15,0	16,2	17,6	18,7	13,1	15,4
16,6	17,2	14,8	15,9	18,0	16,3	14,9	14,3

 

 Indique:

    

a) a população;

    

b) a amostra.

c) a variável estatística do estudo e classifique-a.

d) quatro valores que a variável estatística pode assumir.

4) Numa cidade de 20000 habitantes fez-se um inquérito sobre o meios de transporte utilizado diariamente para se deslocarem para o emprego. Foram interrogadas 2500 pessoas e os resultados foram registrados no seguinte gráfico:

            

Construa uma tabela com a frequência absoluta,  frequência relativa, frequência absoluta acumulada e frequência relativa acumulada  dos transportes.

5) Neste gráfico de barras está representada a evolução da população residente portuguesa ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos obtidos nos recenseamentos.

  a) Qual o valor aproximado da população residente em Portugal no ano de 1989?

 b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população residente em Portugal foi igual a 10 milhões?

  c) A partir de que anos os portugueses residentes passam a ser mais de 10 milhões?

  d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos?

6) Raquel fez um inquérito para a disciplina de Estudo Acompanhado sobre quantas horas os colegas estudavam por dia. Obteve o histograma seguinte:

    a) Quantas classes formou a Raquel?

    b) Com que amplitude?

    c) Em que intervalo se encontra a resposta mais frequente?

    d) Qual a percentagem de alunos que estuda no máximo 6 horas?

    e) Há alunos que estudam mais do que meio dia?

    f) Construa o respectivo polígono de frequências.

7) As alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma do 10º ano são as seguintes:

150	169	174	155	165	170	172
152	158	163	158	166	158	166
170	171	162	171	161	154	168
161	164	166	164	162	156	167

a) Construa uma tabela de frequências, agrupando os dados em classes.

b) Represente graficamente os dados, utilizando o tipo de gráfico que achar mais conveniente.

 8) Seguidamente apresentam-se algumas estimativas para a velocidade da luz determinadas por Michelson em 1882.

299,96	299,88	299,90	299,94	299,88
299,96	299,85	299,94	299,80	299,84

Utilizando uma máquina que só admite números até 6 dígitos:

    a) determine a média.

    b) determine o desvio padrão, utilizando a expressão da definição.

 9) O pai do Ricardo lê determinado jornal todos os fins-de-semana. Um dia, o Ricardo, curioso, procurou no site de um jornal uma estatística sobre a quantidade de jornais vendidos diariamente e encontrou o gráfico representado a seguir.

    a) Partindo desta contagem, elabora um gráfico circular.

    b) Qual é a moda? Que significa?

    c) Qual foi o jornal menos vendido?

          Exercícios de Contagem

1) De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 4 objetos?


2) De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 7 objetos?


3) De quantas maneiras pode-se dispor da palavra jabuticaba? 


4) De quantas maneiras pode-se dispor da palavra problemas? 


5) Dado o conjunto B = {5,6,7}, determine os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.


6) Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

7) Referente a combinação simples: Considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois.

8) Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?

       Exercícios de Probabilidade

1) No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as faces voltadas para cima e determine:

a) espaço amostral S.

b) evento E1 : números cuja soma á igual a 5.

c) evento E2: números iguais.

d) evento E3: números cuja soma é um número par.

e) evento E4: números ímpares nos 2 dados.

f) evento E5: número 2 em pelo menos 1 dos dados.

g) evento E6: números cuja soma é menor que 12.

h) evento E7: números cuja soma é maior que 12.

i) evento E8: números divisores de 7 nos 2 dados.

2) Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos:

a) os 3 são do sexo feminino.

b) pelo menos 1 é do sexo masculino.

c) os 3 do mesmo sexo.

3) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos:

a) o número escolhido é ímpar.

b) o número escolhido é maior que 15.

c) o número escolhido é múltiplo de 5.

d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3.

e) o número escolhido é primo.

f) o número escolhido é par e múltiplo de 3.

g) o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7.

4) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado?

5) Qual a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado?

6) Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se o disco for lançado 3 vezes, qual a probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos uma vez?

7) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se 2 cartas, uma após a outra. Determine a probabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que a primeira é um ás.

8) Uma urna contém 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Retirando-se 2 bolas ao acaso e sem reposição, calcule a probabilidade de:

a) as bolas serem de cores diferentes.

b) as bolas serem vermelhas.

9) Uma bola é retirada de um urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha é 5/17. Calcule a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.

10) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões.

11)Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade de que ela assista:

a) ao canal A.

b) ao canal B.

c) ao canal A ou ao canal B.

 Exercícios de Estudo Analítico da Reta

     1)      Determine a equação geral da reta r dada pela sua representação gráfica a seguir:

     2)      Encontre o valor de m para que o ponto P(m, 4) pertença à reta r, cuja equação é

2x + y – 3 =0.

     3)      Considerando um triângulo com vértices A(2,2) , B(2,4) e C(4,1), determine a equação geral da reta que contém o ponto médio do lado AB  e o vértice C.

     4)      As retas (r) x – 2y – 1 = 0 e (s) 2x +2y – 8 = 0 se encontram no ponto P(x, y). Determine as coordenadas de P.

     5)      Determine a equação geral da reta que contém os pontos:

     a-      A ( 1, 1 ) e B ( 0, 2 )

     b-      A ( 1, -2 ) e B ( 2, -5 )

     c-        A ( 2, 4 ) e B ( 0, 3 )

     d-      A ( -2, 5 ) e B ( 4, -3 )

    

     6)      Determine a equação segmentária da reta r, conhecendo sua equação geral 

(r) 3x – 4y +12 = 0 .

     7)      Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A ( -4, -3 ) e B ( 2, 6).

     8)      Obtenha a equação segmentária da reta r, representada graficamente abaixo:

     9)      Determine o coeficiente angular da reta r, nos seguintes casos:

    10)   Determine o coeficiente angular da reta r que contém os pontos A e B, nos casos:

     a-      A ( 2, 2) e B ( 4, 3 )

     b-      A ( -1, -2 )  e B ( 2, 4)

     c-       A ( -5,  4 ) e B ( 0,  9 )

     d-      A ( 3, 2 ) e B ( 1, 4 )

    11)   Considerando a equação geral da reta, em cada caso, calcule o coeficiente angular da reta (r):

     a-      (r) 2x + 3y -6 = 0

     b-      (r) 5x - 7y  = 0

     c-       (r) x - y + 1 = 0

     d-      (r) 2x - 3y - 13 = 0

    12)   Conhecendo a equação geral da reta r, obtenha a equação reduzida, o coeficiente angular e o coeficiente linear de r:

     a-      2x – 3y + 1 = 0

     b-      x + 3y – 6 = 0

     c-       4x – y + 2 = 0

     d-      2x – 3y + 6 = 0

     e-      3x – 4y + 3 = 0

     f-       x – y + 2 = 0

    g-      x + y = 0

    h-      5x + 7y = 0

    13)   Para a representação gráfica abaixo, determine o coeficiente angular, o coeficiente linear e a equação reduzida de r.

    14)   Obtenha, em cada caso, a equação geral da reta que passa por A e apresenta coeficiente angular m:

    a-      A ( 1, 2 ) e m  = 2

    b-      A ( 4, 3 ) e m  = -3

    c-       A ( -6, 4  ) e m  =  -1

    d-      A (  2, 6 ) e m  = 1/2

    e-      A ( 1/2 , 3 ) e m  = 1/3

    f-       A (  1  , 1/5 ) e m  = -5

    15)   Determine a equação geral da reta, a seguir:

    16)   Determine a equação geral da reta em cada caso:

    17)   Conhecendo as equações paramétricas da reta (r) :

x = t + 2  e  y = -3t – 1,  determine o coeficiente angular de r, a equação geral de r e a equação reduzida de r.

     18)   Classifique as retas r e s conforme suas posições relativas:

     a-      (r) 2x – y + 20 = 0

     (s) 2x – y + 1 = 0

     b-      (r) x – y  - 3 = 0

     (s) 2x – 2y + 3 = 0

     c-       (r) x + 2y  - 5 = 0

      (s) x + 2y - 5 = 0

d-  (r) -3x + 3y  - 3 = 0

 (s) 3x – 3y + 1 = 0

 

     19)   Sabe-se que o ponto A pertence à reta s e esta é paralela a r. Determine a equação geral da reta s, em cada caso:

     a-      A ( 1, -3) e (r) 2x – y + 5 = 0

     b-      A ( -2, -3 ) e (r) 5x + 4y + 2 = 0

     c-       A ( 2, -2) e (r) 2x – y + 3 = 0

     d-      A ( 1, -3) e (r) x – 3y + 4 = 0

    20)   Classifique as retas r e s conforme suas posições relativas:

           a-      (r) x - 5y  + 3 = 0

      (s) 5x + y - 1 = 0

b-    (r) 4x – 2 = 0

       (s) –4y + 1 = 0

c-    (r) 5x + 2y  + 1 = 0

       (s) 2x + 5y +  4 = 0

21) Sabe-se que o ponto A pertence à reta s e esta é perpendicular a r. Determine a equação geral da reta s, em cada caso:

a-     A ( 1, 2) e (r) x – y + 4 = 0

b-     A ( 2, -2 ) e (r) 4x - 3y + 1 = 0

c-      A ( 2, -3) e (r) 7x – y + 4 =  0

            d-        A ( 1, -2) e (r) 3x – 4y + 3 = 0

        22)     Considere as retas (r) 4x + 3y – 8 = 0 e (s) x + 7y – 27 = 0 e determine a medida do ângulo agudo formado entre elas.

        23)     Determine quanto medem os ângulos formados pelas retas 3x – y – 10 = 0 e

2x + y – 6  = 0.

      24)   Determine distância entre o ponto P e a reta r nos casos abaixo:

      a-      P ( 3, 1 )  e  (r) 3x – 4y + 5 = 0

      b-      P ( 2, -2 )  e  (r) 3x – 2y + 1 = 0

      c-       P ( 0, 0  )  e  (r) 5x + 2y - 7 = 0

      d-      P ( 2, 3 )  e  (r) 2x + y - 7 = 0

     25)   Calcule a distância entra as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y – 14 = 0 .

     26)   Determine a área dos triângulos cujos vértices têm as seguintes coordenadas:

     a-      A ( 1, 2 ); B ( 0, 1 ) e C ( 4, 5)

     b-      D ( 4, 3 ); E ( 0, 7 ) e F (2, 1)

     c-       G ( 3,-3); H ( 2, -1 ) e I ( 2, 2 )

     d-      J ( 2, -3); L ( 1, 2 ) e M ( 4, 2)

 Exercícios de Estudo da Circunferência

  

   1) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio r e centro C, em cada caso:

   a- r = 3 e C ( 3, 3 )

   b- r = 1 e C ( 1, 1 )

   c- r = 1 e C ( -3, -2 )

   d- r = 3 e C ( 1, 2 )

   e- r = 3 e C ( 0, 0 )

   f- r = 1 e C ( 1/3, 2/3 )

   2) Calcule o raio e o centro das circunferências com as seguintes equações reduzidas:

   a- (x + 2)² + (y + 2)² = 25

   b- (x - 3)² + (y  + 1)² = 9

   c- x² + y² = 25

   d- (x - 2)² + (y + 2)² = 75

   3)  Determine o raio e o centro da circunferência, em cada caso:

   a- x² + y² - x - y + 1 = 0

   b- 3x² + 3y² - 9 = 0

   4) Identifique se as equações a seguir representam uma circunferência. Em caso positivo,   dê   o raio e o centro de cada uma.

   a- x² + y² - 2x - 2y = 0

   b- x² + y² - 8x - 6y + 15 = 0

   5)  Identifique a posição do ponto P em relação à circunferência, nos seguintes casos:

   a- P (1, 5) e (circunferência) (x + 3 )² +  (y - 2)² = 25

   b- P (-2, 1) e (circunferência) (x - 3 )² +  (y - 4)² = 25

   c- P (-1, 2) e (circunferência) (x + 3 )² +  (y + 6)² =100

   d- P (3, -5) e (circunferência) (x + 1 )² +  (y + 1 )² =49

   6) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:

 7) Determine a equação do círculo de centro C:

 

    8) Identifique a posição da reta s em relação à circunferência, em cada caso:

    a- (s) x - y + 3 = 0

     (circunferência ) x² + y² + 4x - 6y + 11 = 0

    b- (s) x - y -  2 = 0

    (circunferência ) x² + y² - 8x + 4y + 18 = 0

    c- (s) 2x - y - 3 = 0

    (circunferência ) x² + y² - 3x + 2y - 3 = 0

    9) Determine a equação da reta tangente à circunferência de centro (-2, 1) no ponto (-3, 3).

    10) Dada a circunferência x² + y² = 8, e sendo a reta y = ax + b tangente a essa   circunferência  no ponto (2, 2), calcule o valor de a + b.

    11)  Identifique as posições entre as circunferências 1 e 2 nos seguintes casos:
     a-  (1) (  x - 2)² + ( y - 5)² = 1
        (2) ( x - 2)² + ( y - 1 )² = 4

      b-   (1) (  x - 2)² + y² = 4
         (2) ( x - 1)² +  y² =1

   12) Determine a equação da circunferência de raio 5, concêntrica à  circunferência x² + y² -    4x   - 2y + 3 = 0.

 13) Determine o valor de a e b, dadas as circunferências x² + y² - (2a + b)x + 2ay + 15 = 0 e x²  + y2 - 3x - (a + 2b)y + 2 = 0

 14) Encontre a equação da circunferência que passa pelo ponto P(0, 1) e é concêntrica à circunferência x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0.